数学奥林匹克初中训练题
第 一 试
一. 选择题.(每小题7分,共42分)
( )1.已知33333a b c abc a b c
++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:
(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-
( )3.在ΔABC 中,211a b c
=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案
( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是
5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:
(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定
( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:
(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组
二. 填空题.(每小题7分,共28分)
1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过
分钟,货车追上了客车.
2.若多项式
2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .
3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P ,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .
4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标
原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .
第 二 试
一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.
二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边B 小 C 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.
(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25
S .求BD 长.
(2) 若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的
距离.
三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式
25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论。
数学奥林匹克初中训练题(2)
第 一 试 一、 选择题.(每小题7分,共42分)
( )1.设,a b 是实数,且11111a b b a -=++-,则11b a
++等于:
(B) (C) ( )2.适合于2(2)20y x yx -++=的非负整数对
(,)x y 的个数是:
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
( )3.如图1,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O,ABCD 是
矩形,AE=ED,且BE 和CE 把AD 三等分.则此五边形
ABCDE 的面积是:
( )4.若关于x 的不等式3x a x +≥-的解中包含了”x a ≥”,
则实数a 的取值范围是:(A)3a ≥- (B)1a ≥-或3a =- (C)1a ≥或3a =-
(D)2a ≥或3a =-
( )5.如图2,在ΔABC 中,M 是边AB 的中点,N 是边AC 上的点,且2AN NC
=,CM 与BN 相交于点K.若ΔBCK 的面积等于1,则ΔABC 的面积等于: (A)3 (B)
103 (C)4 (D)133 ( )6.设,,a b c 为实数,且0a ≠,抛物线2y ax bx c =++
与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,且抛物线的顶点在直线1y =-上.若ΔABC 是直角三角形,则Rt ΔABC 面积的最大值是:
(A)1 (C)2 (D)3
二、填空题.(每小题7分,共28分)
1.设x 是实数,则函数123y x x x =-+---的最小值是 .
2.方程2
0x ax b ++=的两根为12,x x ,且3322121212,x x x x x x +=+=+,则有序实数组(,)a b 共有 个.
3.若2a b a c b c c a a b c
+==++++,则::a b c = . 4.如图3,正ΔEFG 内接于正方形ABCD,其中E,F,G 分别在边AB,AD,BC 上,若
2,AE EB =则BG BC = . 第 二 试
一.(20分)如图4,在锐角ΔABC 内有一点P,直线AP,BP,CP
分别交对边于Q 1,Q 2,Q 3,且∠PQ 1C=∠PQ 2A=∠PQ 3B.试问:点
P 是否必为ΔABC 的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例
说明.
二.(25分)设p 为素数,k 是正整数.
求证:方程210x px kp ++-=至少有一个整数根
的充分必要条件是1k =
三.(25分)是否存在这样的正整数n ,使得2371n n +-能整除32