我们经常使用手机上的地图导航 App，查找出行的路线。那计算机是如何在多个选择中找到最优解呢？换句话说，计算机是如何挑选出最佳路线的呢？

前几节，我们讲了数学中非常重要的图论中的概念，图，尤其是树中的广度优先搜索。在广度优先的策略中，因为社交网络中的关系是双向的，所以我们直接用无向边来求解图中任意两点的最短通路。

这里，我们依旧可以用图来解决这个问题，但是，影响到达最终目的地的因素有很多，比如出行的交通工具、行驶的距离、每条道路的交通状况等等，因此，我们需要赋予到达目的地的每条边，不同的权重。而我们想求的最佳路线，其实就是各边权重之和最小的通路。

我们前面说了，广度优先搜索只测量通路的长度，而不考虑每条边上的权重。那么广度优先搜索就无法高效地完成这个任务了。那我们能否把它改造或者优化一下呢？

我们需要先把交通地图转为图的模型。图中的每个结点表示一个地点，每条边表示一条道路或者交通工具的路线。其中，边是有向的，表示单行道等情况；其次，边是有权重的。

假设你关心的是路上所花费的时间，那么权重就是从一点到另一点所花费的时间；如果你关心的是距离，那么权重就是两点之间的物理距离。这样，我们就把交通导航转换成图论中的一个问题：在边有权重的图中，如何让计算机查找最优通路？

基于广度优先或深度优先搜索的方法

我们以寻找耗时最短的路线为例来看看。

一旦我们把地图转换成了图的模型，就可以运用广度优先搜索，计算从某个出发点，到图中任意一个其他结点的总耗时。

基本思路是，从出发点开始，广度优先遍历每个点，当遍历到某个点的时候，如果该点还没有耗时的记录，记下当前这条通路的耗时。如果该点之前已经有耗时记录了，那就比较当前这条通路的耗时是不是比之前少。如果是，那就用当前的替换掉之前的记录。

实际上，地图导航和之前社交网络最大的不同在于，每个结点被访问了一次还是多次。在之前的社交网络的案例中，使用广度优先策略时，对每个结点的首次访问就能获得最短通路，因此每个结点只需要被访问一次，这也是为什么广度优先比深度优先更有效。

而在地图导航的案例中，从出发点到某个目的地结点，可能有不同的通路，也就意味着耗时不同。而耗时是通路上每条边的权重决定的，而不是通路的长度。因此，为了获取达到某个点的最短时间，我们必须遍历所有可能的路线，来取得最小值。这也就是说，我们对某些结点的访问可能有多次。

画了一张图，方便你理解多条通路对最终结果的影响。这张图中有 A、B、C、D、E 五个结点，分别表示不同的地点。

从这个图中可以看出，从 A 点出发到目的地 B 点，一共有三条路线。

如果你直接从 A 点到 B 点，度数为 1，需要 50 分钟。

从 A 点到 C 点再到 B 点，虽然度数为 2，但总共只要 40 分钟。

从 A 点到 D 点，到 E 点，再到最后的 B 点，虽然度数为 3，但是总耗时只有 35 分钟，比其他所有的路线更优。

这种情形之下，使用广度优先找到的最短通路，不一定是最优的路线。所以，对于在地图上查找最优路线的问题，无论是广度优先还是深度优先的策略，都需要遍历所有可能的路线，然后取最优的解。

在遍历所有可能的路线时，有几个问题需要注意。

第一，由于要遍历所有可能的通路，因此一个点可能会被访问多次。当然，这个“多次“是指某个结点出现在不同通路中，而不是多次出现在同一条通路中。因为我们不想让用户总是兜圈子，所以需要避免回路。

第二，如果某个结点 x 和起始点 s 之间存在多个通路，每当 x 到 s 之间的最优路线被更新之后，我们还需要更新所有和 x 相邻的结点之最优路线，计算复杂度会很高。

一个优化的版本：Dijkstra 算法

无论是广度优先还是深度优先的实现，算法对每个结点的访问都可能多于一次。而访问多次，就意味着要消耗更多的计算机资源。那么，有没有可能在保证最终结果是正确的情况下，尽可能地减少访问结点的次数，来提升算法的效率呢？

首先，我们思考一下，对于某些结点，是不是可以提前获得到达它们的最终的解（例如最短耗时、最短距离、最低价格等等），从而把它们提前移出遍历的清单？如果有，是哪些结点呢？什么时候可以把它们移除呢？Dijkstra 算法要登场了！它简直就是为了解决这些问题量身定制的。

Dijkstra 算法的核心思想是，对于某个结点，如果我们已经发现了最优的通路，那么就无需在将来的步骤中，再次考虑这个结点。Dijkstra 算法很巧妙地找到这种点，而且能确保已经为它找到了最优路径。

1.Dijkstra 算法的主要步骤

让我们先来看看 Dijkstra 算法的主要步骤，然后再来理解，它究竟是如何确定哪些结点已经拥有了最优解。

首先你需要了解几个符号。

第一个是 source，我们用它表示图中的起始点，缩写是 s。

然后是 weight，表示二维数组，保存了任意边的权重，缩写为 w。w[m, n]表示从结点 m 到结点 n 的有向边之权重，大于等于 0。如果 m 到 n 有多条边，而且权重各自不同，那么取权重最小的那条边。

接下来是 min_weight，表示一维数组，保存了从 s 到任意结点的最小权重，缩写为 mw。假设从 s 到某个结点 m 有多条通路，而每条通路的权重是这条通路上所有边的权重之和，那么 mw[m]就表示这些通路权重中的最小值。mw[s]=0，表示起始点到自己的最小权重为 0。

最后是 Finish，表示已经找到最小权重的结点之集合，缩写为 F。一旦结点被放入集合 F，这个结点就不再参与将来的计算。

初始的时候，Dijkstra 算法会做三件事情。第一，把起始点 s 的最小权重赋为 0，也就是 mw[s] = 0。第二，往集合 F 里添加结点 s，F 包含且仅包含 s。第三，假设结点 s 能直接到达的边集合为 M，对于其中的每一个对端节点 m，则把 mw[m]设为 w[s, m]，同时对于所有其他 s 不能直接到达的结点，将通路的权重设为无穷大。

然后，Dijkstra 算法会重复下列两个步骤。

第一步，查找最小 mw。从 mw 数组选择最小值，则这个值就是起始点 s 到所对应的结点的最小权重，并且把这个点加入到 F 中，针对这个点的计算就算完成了。

比如，当前 mw 中最小的值是 mw[x]=10，那么结点 s 到结点 x 的最小权重就是 10，并且把结点 x 放入集合 F，将来没有必要再考虑点 x，mw[x]可能的最小值也就确定为 10 了。

第二步，更新权重。然后，我们看看，新加入 F 的结点 x，是不是可以直接到达其他结点。如果是，看看通过 x 到达其他点的通路权重，是否比这些点当前的 mw 更小，如果是，那么就替换这些点在 mw 中的值。

例如，x 可以直接到达 y，那么把 (mw[x] + w[x, y]) 和 mw[y]比较，如果 (mw[x] + w[x, y]) 的值更小，那么把 mw[y]更新为这个更小的值，而我们把 x 称为 y 的前驱结点。

然后，重复上述两步，再次从 mw 中找出最小值，此时要求 mw 对应的结点不属于 F，重复上述动作，直到集合 F 包含了图的所有结点，也就是说，没有结点需要处理了。

字面描述有些抽象，用一个具体的例子来解释一下。可以看画的这个图。

我们把结点 s 放入集合 F。同 s 直接相连的结点有 a、b、c 和 d，我把它们的 mw 更新为 w 数组中的值，就可以得到如下结果：

然后，我们从 mw 选出最小的值 0.2，把对应的结点 c 加入集合 F，并更新和 c 直接相连的结点 f、h 的 mw 值，得到如下结果：

然后，我们从 mw 选出最小的值 0.3，把对应的结点 b 加入集合 F，并更新和 b 直接相连的结点 a 和 f 的 mw 值。以此逐步类推，可以得到如下的最终结果：

你可以试着自己从头到尾推导一下，看看结果是不是和我的一致。

说到这里，你可能会产生一个疑问：Dijkstra 算法提前把一些结点排除在计算之外，而且没有遍历全部可能的路径，那么它是如何确保找到最优路径的呢？

下面，我们就来看看这个问题的答案。Dijkstra 算法的步骤看上去有点复杂，不过其中最关键的两步是：第一个是每次选择最小的 mw；第二个是，假设被选中的最小 mw，所对应的结点是 x，那么查看和 x 直接相连的结点，并更新它们的 mw。

2. 为什么每次都要选择最小的 mw？

最小的、非无穷大的 mw 值，对应的结点是还没有加入 F 集合的、且和 s 有通路的那些结点。假设当前 mw 数组中最小的值是 mw[x]，对应的结点是 x。如果边的权重都是正值，那么通路上的权重之和是单调递增的，所以其他通路的权重之和一定大于当前的 mw[x]，因此即使存在其他的通路，其权重也会比 mw[x]大。

你可以结合这个图，来理解刚才这段话。

图中的虚线表示省去了通路中间的若干结点。mw[x]是当前 mw 数组中的最小值，所以它小于等于任何一个 mw[xn]，其中 xn 不等于 x。

我们假设存在另一个通路，通过 xn​ 达到 x，那么通路的权重总和为 mw[xn​] + w[xn​, x] ≥ mw[xn​] ≥ mw[x]。所以我们可以得到一个结论：拥有最小 mw 值的结点 x 不可能再找到更小的 mw 值，可以把它放入“已完成“的集合 F。

这就是为什么每次都要选择最小的 mw 值，并认为对应的结点已经完成了计算。和广度优先或者深度优先的搜索相比，Dijkstra 算法可以避免对某些结点，重复而且无效的访问。因此，每次选择最小的 mw，就可以提升了搜索的效率。

3. 为什么每次都要看 x 直接相连的结点？

我们已经确定 mw[x]是从点 s 到点 x 的最小权重，那么就可以把这个确定的值传播到和 x 直接相连、而且不在 F 中的结点。通过这一步，我们就可以获得从点 s 到这些点、而且经过 x 的通路中最小的那个权重。画了张图帮助你理解。

在这个图中，x 直接相连 y1​，y2​，…，yn​。从点 s 到点 x 的 mw[x]已经确定了，那么对于从 s 到 yn 的所有通路，只有两种可能，经过 x 和不经过 x。如果这条通路经过 x，那么其权重的最小值就是 mw’[yi​] = mw[x] + w[x, yi​]中的一个（1≤i≤n），我们只需要把这个值和其他未经过 x 结点的通路之权重对比就足够了。这就是为什么每次要更新和 x 直接相连的结点之 mw。

这一步和广度优先策略中的查找某个结点的所有相邻结点类似。但是，之后，Dijkstra 算法重复挑选最小权重的步骤，既没有遵从广度优先，也没有遵从深度优先。即便如此，它仍然保证了不会遗漏任意一点和起始点 s 之间、拥有最小权重的通路，从而保证了搜索的覆盖率。你可能会奇怪，这是如何得到保证的？使用数学归纳法，来证明一下。

你还记得数学归纳法的一般步骤吗？刚好借由这个例子我们也来复习一下。

我们的命题是，对于任意一个点，Dijkstra 算法都可以找到它和起始点 s 之间拥有最小权重的通路。

首先，当 n=1 的时候，也就是只有起始点 s 和另一个终止点的时候，Dijkstra 算法的初始化阶段的第 3 步，保证了命题的成立。

然后，我们假设 n=k-1 的时候命题成立，同时需要证明 n=k 的时候命题也成立。命题在 n=k-1 时成立，表明从点 s 到 k-1 个终点的任何一个时，Dijkstra 算法都能找到拥有最小权重的通路。那么再增加一个结点 x，Dijkstra 算法同样可以为包含 x 的 k 个终点找到最小权重通路。

这里我们只需要考虑 x 和这 k-1 个点连通的情况。因为如果不连通，就没有必要考虑 x 了。既然连通，x 可能会指向之前 k-1 个结点，也有可能被这 k-1 个结点所指向。假设 x 指向了 y，而 z 指向了 x，y 和 z 都是之前 k-1 个结点中的一员。

我们先来看 x 对 y 的影响。如果 x 不在从 s 到 y 的最小权重通路上，那么 x 的加入并不影响 mw[y]的最终结果。如果 x 在从 s 到 y 的最小权重通路上，那么就意味着 mw[x] + w[x, y]≤mw’[y]，mw’表示没有引入结点 x 的时候，mw 的值。

所以有 mw[x]≤mw’[y]，这就意味着 Dijkstra 算法在查找最小 mw 的步骤中，会在 mw’[y]之前挑出 mw[x]，也就是找到了从 s 到 y，且经过 x 的最小权重通路。

我们再来看 z 对 x 的影响。假设有多个 z 指向 x，分别是 z1​, z2​, …,zm​，从 s 到 x 的通路必定会经过这 m 个 z 结点中的一个。Dijkstra 算法中找最小 mw 的步骤，一定会遍历 mw[zi​]（1<=i<=m），而更新权重的步骤，可以并保证从 (mw[zi​] + w[zi​, x]) 中找出最小值，最终找到从 s 到 x 的最优通路。

有了详细的推导，想要写出代码就不难了。这里只给你说几点需要注意的地方。

在自动生成图的函数中，你需要把广度优先搜索的相应代码做两处修改。第一，现在边是有向的了，所以生成的边只需要添加一次；第二，要给边赋予一个权重值，例如可以把边的权重设置为[0,1.0) 之间的 float 型数值。

为了更好地模块化，你可以实现两个函数：findGeoWithMinWeight 和 updateWeight。它们分别对应于我之前提到的最重要的两步：每次选择最小的 mw；更新和 x 直接相连的结点之 mw。

每次查找最小 mw 的时候，我们需要跳过已经完成的结点，只考虑那些不在 F 集合中的点。这也是 Dijkstra 算法比较高效的原因。此外，如果你想输出最优路径上的每个结点，那么在 updateWeight 函数中就要记录每个结点的前驱结点。

如果你能跟着我进行一步步的推导，并且手写代码进行练习，相信你对 Dijkstra 算法会有更深刻的印象。

小结

我们使用 Dijkstra 算法来查找地图中两点之间的最短路径，而今天我所介绍的 Dijkstra 使用了更为抽象的“权重”。如果我们把结点作为地理位置，边的权重设置为路上所花费的时间，那么 Dijkstra 算法就能帮助我们找到，任意两个点之间耗时最短的路线。

除了时间之外，你也可以对图的边设置其他类型的权重，比如距离、价格，这样 Dijkstra 算法可以让用户找到地图任意两点之间的最短路线，或者出行的最低价格等等。有的时候，边的权重越大越好，比如观光车开过某条路线的车票收入。对于这种情况，Dijkstra 算法就需要调整一下，每次找到最大的 mw，更新邻近结点时也要找更大的值。所以，你只要掌握核心的思路就可以了，具体的实现可以根据情况去灵活调整。

思考题

今天的思考题和地图数据的特殊情况有关。

1. 如果边的权重是负数，我们还能用今天讲的 Dijkstra 算法吗？

2. 如果地图中存在多条最优路径，也就是说多条路径的权重和都是相等的，那么我刚刚介绍的 Dijkstra 算法应该如何修改呢？